ЧАСТОТА ТА ЙМОВІРНІСТЬ
ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ.
Нам нерідко доводиться проводити спостереження, досліди, брати участь в експериментах або випробуваннях. Часто подібні дослідження завершуються деяким результатом, який заздалегідь передбачити неможливо. Розглянемо кілька характерних прикладів.
• Якщо відкрити книгу навмання, то неможливо знати заздалегідь, який номер сторінки ви побачите.
• Неможливо до початку футбольного матчу визначити, з яким рахунком закінчиться гра. • Ви не можете бути впевненим у тому, що коли натиснете на кнопку вимикача, то засвітиться настільна лампа.
• Немає гарантії, що з курячого яйця, покладеного до інкубатора, виведеться курча.
Як правило, спостереження або експеримент визначається якимось комплексом умов. Наприклад, футбольний матч повинен проходити за правилами; курячі яйця мають знаходитися в інкубаторі не менше ніж 21 день із дотриманням визначеної методики зміни температури та вологості повітря.
Результат спостереження, досліду, експерименту називають подією.
Випадковою подією називають такий результат спостереження або експерименту, який при дотриманні даного комплексу умов може відбутися, а може й не відбутися.
Наприклад, якщо кидати монету, то випадковою подією є випадіння герба. Виявлення листа при перевірці поштової скриньки також є випадковою подією.
Уявимо, що випущено 1 000 000 лотерейних білетів і розігрується один автомобіль. Чи можна, придбавши один лоте рейний білет, виграти цей приз? Звісно, можна, хоча ця подія малоймовірна. А якщо розігруватимуться 10 авто мобілів? Зрозуміло, що ймовірність виграшу збіль шиться. Якщо ж уявити, що розігруються 999 999 авто мобілів, то ймо вірність виграшу стає набагато більшою.
Отже, ймовірності випадкових подій можна порівнювати. Однак для цього слід домовитися, яким чином кількісно оцінювати можливість появи тієї чи іншої події. Підставою для такої числової оцінки можуть бути результати численних спостережень або експериментів. Так, люди давно помітили, що багато подій відбувається з тією чи іншою, на подив постійною, частотою.
Демографам добре відоме число 0,512. Статистичні дані, отримані в різні часи та в різних країнах, свідчать про те, що на 1000 новонароджених припадає в середньому 512 хлопчиків. Число 0,512 називають частотою випадкової події «народження хлопчика». Воно визначається формулою
Наголосимо, що це число отримано в результаті аналізу багатьох спостережень. У таких випадках говорять, що ймовірність події «народження хлопчика» приблизно дорівнює 0,512.
Ви знаєте, що куріння шкідливе для здоров’я. За даними організацій охорони здоров’я курці складають приблизно 92 % від усіх хворих на рак легенів. Число 0,92 — це частота випадкової події «той, хто захворів на рак легенів, — курив», яка визначається таким відношенням:
У таких випадках говорять, що ймовірність натрапити на курця серед тих, хто захворів на рак легенів, приблизно дорівнює 0,92 (або 92 %).
Щоб детальніше ознайомитися з поняттям ймовірності випадкової події, звернемося до класичного прикладу з киданням монети.
Припустимо, що в результаті двох підкидань монети двічі випав герб. Тоді у даній серії, яка складається з двох випробувань, частота випадіння герба дорівнює:
Чи це означає, що ймовірність випадіння герба дорівнює 1? Звісно, ні.
Для того щоб за частотою випадкової події можна було оцінювати її ймовірність, кількість випробувань має бути достатньо великою. Починаючи з ХVІІІ ст. багато дослідників проводили серії випробувань із підкиданням монети. У таблиці наведено результати деяких таких випробувань.
За наведеними даними простежується закономірність: при багаторазовому підкиданні монети частота появи герба незначно відхиляється від числа 0,5.
Отже, можна вважати, що ймовірність події «випадіння герба» приблизно дорівнює 0,5.
У кожному з розглянутих прикладів використовувалося поняття частота випадкової події. Цю величину ми обчислювали за формулою:
Звернемося знову до таблиці, наведеної вище. Чи можна на основі її даних гарантовано стверджувати, що ймовірність випадкової події «випадіння герба» дорівнює числу 0,5? Відповідь на це запитання заперечна. Справді, на основі цих даних можна сказати, що частота появи герба незначно відхиляється від числа 0,502 або від числа 0,4997, тобто число 0,5 не має жодних переваг перед числом 0,502 або числом 0,4997.
Таким чином, частота випадкової події дає змогу лише наближено оцінити ймовірність випадкової події. Чим більше випробувань провести, тим точнішою буде оцінка ймовірності випадкової події за її частотою.
Таку оцінку ймовірності випадкової події називають статистичною. Її використовують у різних галузях діяльності людини: фізиці, хімії, біології, страховому бізнесі, соціології, економіці, охороні здоров’я, спорті тощо. Ймовірність події позначають буквою P (першою буквою французького слова probabilité — ймовірність).
Якщо в першому прикладі подію «народження хлопчика» позначити буквою A, то отриманий результат записують так:
P (A) ≈ 0,512.
Ураховуючи наближений характер статистичної оцінки, отримані дані можна округлити. Наприклад, коли частота випадкової події дорівнює 0,512, то можна записати, що P (A) ≈ 0,51 або P (A) ≈ 0,5.
Якщо подію «випадіння герба» позначити буквою B, то
P (B) ≈ 0,5.
На закінчення цього пункту зазначимо таке. Нерідко в повсякденному житті ми приймаємо правильні й опти мальні рішення, використовуючи ймовірнісні властивості нав колишніх явищ або об’єктів.
Наведемо кілька прикладів.
• Якщо ви хочете дізнатися, як розв’язувати задачу з домашнього завдання, то, скоріш за все, зателефонуєте однокласнику, який добре знає математику. Цей вибір базується на тому, що для сильного учня ймовірність розв’язати задачу більша, ніж для слабкого.
• Товари популярних фірм дорожчі за аналогічні товари маловідомих фірм. Проте нерідко ми купляємо дорожчий товар. Таке рішення багато в чому визначається тим, що ймовірність купити неякісний виріб у відомої фірми менша, ніж у маловідомої фірми.
• Нехай контрольна робота складається з десяти завдань у тестовій формі з вибором відповіді. Припустимо, що ви впоралися з дев’ятьма задачами, а десяту розв’язати не можете. Залишається лише одне — відповідь угадувати. Скоріш за все, ви не вибиратимете літеру, що позначає варіант відповіді, яка в попередніх де в’яти завданнях трапилася частіше за інші. Ці міркування ба зу ються на тому, що укладачі тестових завдань навряд чи розташували варіанти відповідей так, щоб якась літера, що позначає правильну відповідь, траплялася набагато частіше за інші.
Наголосимо, що окремо взятий вибір, який зроблено на основі ймовірнісної оцінки, може виявитися невдалим. Незважаючи на це, під час прийняття подальших аналогічних рішень не варто відкидати вибрану стратегію керуватися ймовірнісними характеристиками, оскільки такий підхід збільшує шанси на успіх.
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ:
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ: повторити п.22, виконати в зошиті №22.4, 22.10, 22.14
Коментарі
Дописати коментар