КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ
Для знаходження ймовірності деяких подій не обов’язково проводити випробування або спостереження. Достатньо керуватися життєвим досвідом і здоровим глуздом.
Приклад 1 : Нехай у коробці лежать 10 червоних куль. Яка ймовірність того, що взята навмання куля буде червоного кольору? жовтого кольору?
За даних умов будь-яка взята навмання куля буде червоного кольору.
Подію, яка за даним комплексом умов обов’язково відбудеться в будь-якому випробуванні, називають достовірною (вірогідною).
Ймовірність такої події вважають рівною 1, тобто: якщо A — достовірна подія, то
P (A) = 1.
Отже, ймовірність того, що взята навмання куля буде червоного кольору, дорівнює 1.
Оскільки в коробці немає куль жовтого кольору, то взяти кулю жовтого кольору неможливо.
Подію, яка за даним комплексом умов не може відбутися в жодному випробуванні, називають неможливою. Ймовірність такої події вважають рівною 0, тобто: якщо A — неможлива подія, то
P (A) = 0.
Отже, ймовірність того, що взята навмання куля буде жовтого кольору, дорівнює 0.
Приклад 2: Однорідну монету підкидають один раз. Яка ймовірність випадіння герба?
У цьому експерименті можна отримати тільки один із двох результатів: випадіння цифри або випадіння герба. Причому жоден із них не має переваг. Такі результати називають рівноможливими, а відповідні випадкові події — рівноймовірними. Тоді природно вважати, що ймовірність кожної з подій «випадіння герба» і «випадіння цифри» дорівнює 1/2.
Сказане не означає, що в будь-якій серії експериментів з киданням монети рівно половиною результатів буде випадіння герба та рівно половиною — випадіння цифри. Ми можемо лише прогнозувати, що за великої кількості випробувань частота випадіння герба приблизно дорівнюватиме 1/2.
Розглянемо ще кілька прикладів експериментів з таким комплексом умов, які роблять усі результати експерименту рівноможливими.
Приклад 3 : Гральний кубик (рис.) кидають один раз. Яка ймовірність
випадіння цифри 4?
У цьому експерименті можна отримати один із шести результатів: випаде 1, 2, 3, 4, 5 або 6 очок. Усі ці результати рівноможливі. Тому природно вважати, що ймовірність події «випадіння 4 очок» дорівнює 1/6.
Приклад 4: Нехай випущено 100 000 лотерейних білетів, 20 з яких є виграшними. Яка ймовірність виграшу при купівлі одного білета?
Випробування полягає в тому, що купляють один білет. У цьому експерименті можна отримати один зі 100 000 рівноможливих результатів: купити білет з номером 1, купити білет з номером 2 і т. д. Із них 20 результатів приводять до виграшу. Природно вважати, що ймовірність виграшу при купівлі одного білета дорівнює 20:100000 = 1 : 5000
Приклад 5: У коробці лежать 15 більярдних куль, пронумерованих числами від 1 до 15. Яка ймовірність того, що вийнята навмання куля матиме номер, кратний 3?
У цьому випробуванні можна отримати один із 15 рівноможливих результатів: вийняти кулю з номером 1, вийняти кулю з номером 2 і т. д. Із них до настання події «вийнята куля має номер, кратний 3» приводять 5 результатів: вийнята куля має номер 3, або 6, або 9, або 12, або 15. Тому природно вважати, що шукана ймовірність дорівнює 5 : 15 = 1 : 3
Попри те що в прикладах 1–5 розглядають різні експерименти, їх описує одна математична модель. Пояснимо сказане.
• У кожному прикладі при випробуванні можна отримати один із n рівноможливих результатів. Приклад 1: n = 10.
Приклад 2: n = 2.
Приклад 3: n = 6.
Приклад 4: n = 100 000.
Приклад 5: n = 15.
• У кожному прикладі розглядається деяка подія A, до настання якої приводять m результатів. Називатимемо їх сприятливими.
Приклад 1: A — витягнули червону кулю, m = 10, або A — витягнули жовту кулю, m = 0. Приклад 2: A — випав герб, m = 1.
Приклад 3: A — випала наперед задана кількість очок на грані кубика, m = 1.
Приклад 4: A — виграш призу, m = 20.
Приклад 5: A — витягнули кулю, номер якої кратний 3, m = 5.
• У кожному прикладі ймовірність події A можна обчислити за формулою:
Означення. Якщо випробування може закінчитися одним з n рівноможливих результатів, з яких m приводять до настання події A, то ймовірністю події A називають відношення m : n .
Таке означення ймовірності називають класичним.
Наголосимо, що коли комплекс умов експерименту такий, що його результати не є рівноможливими, то класичне означення ймовірності до такого експерименту застосовувати не можна.
На перший погляд здається, що багатьма явищами, які відбуваються навколо нас, керує «його величність випадок». Проте при більш ґрунтовному аналізі з’ясовується, що через хаос випадковостей прокладає собі дорогу закономірність, яку можна кількісно оцінити. Науку, яка займається такими оцінками, називають теорією ймовірностей.
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ:
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ: повторити п.23, виконати № 23.5, 23.8, 23.13
Коментарі
Дописати коментар